Semiperimeter

Figur 1.		Figur 2.

En plangeometrisk figurs semiperimeter (semi=halv och perimeter=omkrets) är halva omkretsen. Semiperimetern används främst i samband med polygoner, särskilt trianglar. Den betecknas vanligen med s och används huvudsakligen för att förenkla uttryck och formler.

För en polygon gäller att

${\displaystyle s={\frac {\sum _{k=1}^{N}a_{k}}{2}}}$ där ${\displaystyle N}$ är lika med antalet hörn eller sidor och där ${\displaystyle a_{k}}$ är längden av sidan ${\displaystyle k\in \{1,2...N\}}$

För en triangel (beteckningar enligt figur 1) med sidlängderna ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ och ${\displaystyle c}$ är semiperimetern:

${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$

Semiperimetern utnyttjas ofta för att förkorta uttryck som:

${\displaystyle {\frac {-a+b+c}{2}}=s-a,\quad {\frac {a-b+c}{2}}=s-b\quad }$ och ${\displaystyle \quad {\frac {a+b-c}{2}}=s-c}$.

se exempelvis Herons formel. Se även Brahmaguptas formel som använder motsvarande uttryck för fyrhörningar:

${\displaystyle {\frac {-a+b+c+d}{2}}=s-a}$ etcetera.

För en tangenttriangel till en inskriven cirkel (beteckningar enligt figur 2) med sidlängderna ${\displaystyle |{\overline {AB}}|}$, ${\displaystyle |{\overline {AC}}|}$ och ${\displaystyle |{\overline {BC}}|}$ och avstånden ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ och ${\displaystyle c}$ från respektive hörn till tangeringspunkterna (avståndet från ett hörn till tangeringspunkten på vardera sidan är detsamma – exempelvis är ${\displaystyle |{\overline {AT_{AC}}}|=|{\overline {AT_{AB}}}|=a}$ i figuren^[1]) gäller även:

${\displaystyle s={\frac {|{\overline {AB}}|+|{\overline {AC}}|+|{\overline {BC}}|}{2}}={\frac {(a+b)+(a+c)+(b+c)}{2}}=a+b+c\Rightarrow }$

${\displaystyle s=|{\overline {BC}}|+a\Leftrightarrow a=s-|{\overline {BC}}|,\quad s=|{\overline {AC}}|+b\Leftrightarrow b=s-|{\overline {AC}}|}$ och ${\displaystyle s=|{\overline {AB}}|+c\Leftrightarrow c=s-|{\overline {AB}}|}$

För en triangels area gäller att den är lika med produkten av semiperimetern och den inskrivna cirkelns radie:

${\displaystyle |\triangle ABC|=s\cdot r}$.

eftersom hela triangelns area (figur 2) ${\displaystyle |\triangle ABC|=|\triangle ABI|+|\triangle ACI|+|\triangle BCI|={\frac {|{\overline {AB}}|\cdot r}{2}}+{\frac {|{\overline {AC}}|\cdot r}{2}}+{\frac {|{\overline {BC}}|\cdot r}{2}}=(a+b+c)\cdot r=s\cdot r}$

Denna formel gäller alla tangentpolygoner, inte bara trianglar, eftersom de kan delas upp i trianglar med en polygonsida som bas och det tredje hörnet i den inskrivna cirkelns medelpunkt varigenom alla trianglarnas höjder är lika med den inskrivna cirkelns radie (eftersom radien till tangeringspunkten är vinkelrät mot den tangerande sidan):

${\displaystyle Arean=\sum _{k=1}^{N}{\frac {a_{k}\cdot r}{2}}=s\cdot r}$ där ${\displaystyle N}$ är lika med antalet hörn eller sidor och där ${\displaystyle a_{k}}$ är längden av sidan ${\displaystyle k\in \{1,2...N\}}$

• Eric W. Weisstein, Semiperimeter på Wolfram MathWorld.